Futbol kariyerine Rize Özel İdarespor'da başlayan Barış Alper, 2017-2018 sezonu öncesi 17 yaşındayken dönemin TFF 3. Lig ekiplerinden Ankara Demirspor'a transfer oldu. Burada profesyonel olan genç futbolcu, ilk sezonunda 5 lig, 2 Türkiye Kupası maçında forma giydi.

2017-2018 sezonunda play-off şampiyonu olarak TFF 2. Lig'e yükselen takımında daha fazla süre bulmaya başlayan Barış Alper, 2018-2019 sezonunda 16 lig ve 1 kupa, 2019-2020 sezonunda ise 19 lig, 1 kupa maçında sahaya çıktı. Genellikle sağ kanatta görev alan Barış Alper, söz konusu sezonlarda 1 kez gol sevinci yaşadı.

2020'de TFF 1. Lig takımı Ankara Keçiörengücü'ne transfer olan genç Barış, burada ciddi bir sıçrama yaptı. Süre aldığı 34 lig maçında 8 kez fileleri havalandıran Barış Alper Yılmaz, Türkiye Kupası'nda da 2 maçta top koşturdu.

1. Lig'den Galatasaray'a geldi
Ankara Keçiörengücü'ndeki performansı Barış Alper Yılmaz'a Galatasaray'ın kapılarını açtı. Sarı-kırmızılı kulüp, 2021'de potansiyeline güvendiği Barış Alper'i 21 milyon lira (Dönemin kuruyla 2,1 milyon avro) bonservis bedeli ödeyerek kadrosuna kattı. 2021-2022 sezonunda dönemin başkanı Burak Elmas ile teknik direktörü Fatih Terim önderliğinde genç ve potansiyelli futbolcularla oluşturulan kadro beklentileri karşılayamadı. Galatasaray, söz konusu sezonu 13. bitirerek tarihinin en kötü performansını sergiledi. Barış Alper, 17'si Süper Lig, 5'i Avrupa ve 1'i Türkiye Kupası olmak üzere 23 müsabakada süre bulurken, gol sevinci yaşayamadı.

Okan Buruk ile çıkışa geçti
Galatasaray'ın büyük bir travmayla kapattığı 2021-2022 sezonundan sonra göreve gelen teknik direktör Okan Buruk yönetiminde Barış Alper'in de yükselişi başladı. Okan Buruk yönetiminde 2022-2023 sezonunda 25 Süper Lig, 5 Türkiye Kupası maçında forma giyen Barış Alper Yılmaz, 4 kez gol sevinci yaşadı. Barış, şampiyonlukla tamamlanan sezonda özellikle derbilerdeki performansıyla hem Okan Buruk'un hem de sarı-kırmızılı taraftarların gözüne girdi.

Geçen sezon Okan Buruk'un jokeri oldu
Barış Alper Yılmaz, Galatasaray'da 2023-2024 sezonuna damga vurdu. Genç futbolcu, kadrosunda Mauro Icardi, Hakim Ziyech, Wilfried Zaha, Kerem Aktürkoğlu, Tete, Dries Mertens gibi hücum oyuncuları bulunan Galatasaray'da öne çıkmayı başardı. Sarı-kırmızılı ekipte tüm kulvarlarda 55 resmi maça çıkan Barış Alper, 7 gol 12 asistlik performansıyla dikkati çekti. Genç futbolcu, hücumdaki etkinliğinin yanı sıra teknik direktör Okan Buruk'un elini rahatlatmasıyla da ön plana çıktı. Hücumda kanatlar ve santrforda görev alan 24 yaşındaki yıldız futbolcu, takımın ihtiyaç duyduğu anlarda sağ ve sol bekte de oynadı. Barış Alper, Galatasaray'ın üst üste aldığı ikinci şampiyonlukta başrolü oynayan futbolculardan oldu.

2023-2024 sezonunda 70 maça çıktı
Barış Alper Yılmaz, bu sezon Galatasaray ve A Milli Takım'la 70 maçta süre aldı. Sarı-kırmızılı ekipte 55 resmi müsabakaya çıkan Barış Alper, ay-yıldızlı formayı da 15 kez sırtına geçirdi. Galatasaray'da toplamda 3 bin 490 dakika sahada kalan yıldız futbolcu, A Milli Takım'da ise 922 dakika süre buldu. Barış Alper'in toplam aldığı süre 4 bin 412 dakika oldu.

EURO 2024'te futbol kamuoyunu etkiledi
Genç futbolcu, EURO 2024'teki performansıyla Avrupa futbol kamuoyundan geçer not aldı. Barış Alper, yoğun ve yorucu geçen sezonun ardından düzenlenen Avrupa Şampiyonası'ndaki 5 müsabakada da 90'ar dakika sahada kaldı. Milli yıldız, hem grup aşamasında hem de eleme turlarındaki müsabakalarda kuvveti, dayanıklılığı, hızı ve mücadelesiyle dikkati çekti. Şampiyonada gol veya asist üretememesine rağmen rakip savunma oyuncularını zorlayan ve takım arkadaşlarına pozisyon hazırlayan Barış Alper ile ilgili sosyal medyada binlerce olumlu yorum paylaşıldı. Yabancı basın mensuplarının övgüde bulunduğu ay-yıldızlı futbolcu için Hollanda'nın yıldız stoperi Virgil van Dijk, "Sürekli koşuyordu, ele avuca sığmıyordu. Her savunmacı için zordur. Arka üçlüdeki bizi çok zorladı." yorumunu yaptı.